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Le coup de génie d’Eratosthène

MESURER LE MONDE (1/5). Au IIIe siècle avant notre ère, le savant grec entreprend de déterminer la taille de notre planète. Il concocte une savante recette, à l’aide d’un puits, d’un bâton de bois, d’une poignée d’arpenteurs et, bien sûr, de géométrie
Pour définir la circonférence de la Terre, Eratosthène s'est basé sur les calculs des bématistes qui comptent les pas de leurs chameaux pour mesurer les distances. — © Alamy Stock Photo
Pour définir la circonférence de la Terre, Eratosthène s'est basé sur les calculs des bématistes qui comptent les pas de leurs chameaux pour mesurer les distances. — © Alamy Stock Photo
Denis Delbecq
Denis Delbecq
Publié le 31 juillet 2023 à 12:50. Modifié le 02 août 2023 à 09:23.

Mesurer le monde

Cet été, «Le Temps» s'intéresse à ces gens fascinants qui ont payé de leur vie (parfois) ou de leur créativité (toujours), pour mesurer notre alcôve sphérique

➤ Découvrir la série

Le Temps offre l’accès gratuit au premier épisode de cette série. Pour en lire l'intégralité, abonnez-vous à partir de 9.-CHF/mois, sans engagement.

Il en fallait du neurone connecté pour calculer, vers 200 av. J.-C., la taille de notre planète – à quelques pour cent près – sans même prendre la peine d’entreprendre un tour du monde… On doit ce coup de génie au grec Eratosthène, véritable caméléon du savoir antique, puisqu’il était mathématicien, géographe, astronome, poète, musicien, philosophe, entre autres.

Devenu patron de la bibliothèque d’Alexandrie, l’érudit vouait une passion démesurée à notre globe. On lui doit – entre autres – la première carte du monde, un planisphère, grillagé de parallèles et méridiens, tracés sur la foi des informations glanées lors des conquêtes d’Alexandre le Grand. Mais son nom restera gravé à jamais dans les pages du Temps pour l’extraordinaire précision de sa mesure de la Terre, puisque c’est de cela qu’il s’agit ici.

Tout lettré qu’il était, Eratosthène s’était nourri des idées de ses prédécesseurs qu’il jugeait pertinentes. Ainsi, dès le VIe ou Ve siècle avant notre ère, Pythagore avait-il suggéré que la Terre est ronde. Tout simplement parce que cet esthète n’imaginait pas que la Terre puisse afficher une géométrie moins parfaite que celle de la sphère. Une planète cubique ou en forme de patatoïde aurait assurément été le fruit de dieux tombés sur la tête!
Lire aussi: Au Moyen Age, on pensait que la Terre était plate: une «fake news» inventée par Voltaire

Fort heureusement pour la quête de savoir qui anime l’humanité, Aristote avait mis de la logique dans tout cela, deux siècles plus tard, en levant les yeux au ciel sans chercher moult saints auxquels se vouer. D’abord en relevant que l’ombre de la Terre dessine un arc de cercle sur son satellite lors des éclipses lunaires. Ce qui, objecteront à raison les grincheux, est tout à fait compatible avec l’idée de Terre discale esquissée par Thalès au VIIe-VIe siècle av. J.-C. Mais Aristote avait aussi noté que le ciel fait apparaître et disparaître des étoiles quand on se déplace. Réfléchissez: cette fois, cela ne fonctionne pas avec une Terre plate!
Les calculs d’Aristote, loin du compte

Ce talentueux philosophe avait aussi maladroitement tenté de chiffrer la taille de notre alcôve. Dans son Traité du ciel, il estimait sa circonférence – au doigt mouillé? Nul ne le sait – à 440 000 stades, à peu près 70 000 km si l’on considère une valeur de 158 mètres pour cette unité de longueur adoptée par les Grecs depuis l’épopée d’Alexandre le Grand. Bref, Aristote était loin du compte puisque la Terre ne mesure «que» 40 075 km à l’équateur.

Eratosthène, lui, ne peut se contenter du pifomètre: un «instrument» inconcevable pour le «cartésien» qu’il était, bien avant l’heure. Il préfère échafauder un raisonnement sur la base d’une hypothèse fort audacieuse – et avérée depuis: vu la distance considérable du Soleil au regard de sa taille et la petitesse terrestre présumées, ses rayons sont forcément parallèles quand ils nous parviennent.

Lors d’une visite à Syène (aujourd’hui Assouan), notre génie avait remarqué qu’au solstice d’été, en juin, le Soleil se reflète parfaitement au fond d’un puits. Evènement qu’il interpréta comme le fait que l’astre se trouve, exactement et à cet instant, à la verticale du lieu puisqu’il n’est pas encore d’usage de creuser des puits en biais. Or, doué de mémoire, Eratosthène savait que lorsque le Soleil se hisse au plus haut du solstice d’été à Alexandrie, les bâtiments y projettent encore une petite ombre au sol. Le soleil n’y est donc pas totalement vertical. Vous voyez où il voulait en venir?
Un calcul en cinq actes

Eratosthène utilise la différence de latitude entre Alexandrie et Syène, et leur distance au sol, pour calculer la circonférence de la Terre — © D. Delbecq-Le Temps
Eratosthène utilise la différence de latitude entre Alexandrie et Syène, et leur distance au sol, pour calculer la circonférence de la Terre — © D. Delbecq-Le Temps

Acte I Puisque la Terre est ronde, se dit Eratosthène, imaginons deux droites. L’une prolonge l’axe du puits de Syène jusqu’au centre de la Terre. De même, si on plante verticalement un gnomon à Alexandrie – ce piquet de bois utilisé dans les cadrans solaires au sol –, sa prolongation vers les entrailles du globe définira une seconde droite virtuelle qui rejoint, elle aussi, le centre de la Terre, puisque celle-ci est une sphère. «It’s geometry, stupid!» Là, sous nos pieds, ces droites de pensée forment un certain angle.

Acte II Eratosthène sait que Syène et Alexandrie se trouvent à peu de chose près sur un même méridien, parce que ce qu’on appelle désormais le temps solaire vrai – l’heure au soleil, pour faire simple – y est grosso modo le même.

Acte III Eratosthène a potassé sa géométrie, notamment pythagoricienne, et sait ce que sont les angles alternes internes. Un terme barbare mais vital pour son entreprise: il signifie, en l’espèce, que l’angle entre le rayon de soleil qui rase le haut du gnomon d’Alexandrie et ce dernier est identique à celui que forment les deux droites imaginaires près du centre de la Terre. Reste à le déterminer, à Alexandrie, pour lequel notre philosophe va se remémorer ses cours de trigonométrie, en le déduisant de la mesure de longueur du gnomon et de celle de son ombre au sol.

Acte IV Un jour de solstice d’été, Eratosthène et un complice, dont le nom n’est – hélas pour lui – pas resté à la postérité, attendent patiemment que la course du Soleil atteigne le zénith (ce qui, à Syène, signifie que l’ombre ne diminue plus). A cet instant, l’angle recherché fait 7,2 °. Soit exactement le cinquantième des 360 ° du tour complet d’un méridien. Un véritable coup de bol qui évite tout recours calculatoire à la «pascaline», encore indisponible parce que créée par Blaise Pascal en 1642. Comprendre: une fois la distance entre Alexandrie et Syène connue, il suffira de la multiplier par 50 pour obtenir la longueur du méridien, et donc la circonférence de la Terre.

Acte V Eratosthène se tourne vers les bématistes, ces inlassables arpenteurs réputés mesurer les distances en comptant leurs pas — ou ceux de leurs chameaux, allez savoir. A moins qu’ils ne disposent déjà d’un odomètre, ce qui reste à démontrer pour un appareil supposément inventé à Rome vers l’an 15 av. J.-C. Bref, Syène et Alexandrie sont distantes de 5000 stades, ce qui donne grosso modo 39 500 kilomètres de circonférence pour le globe, soit une erreur de 575 km sur ce qu’on en sait désormais. Impressionnant, n’est-il pas?

Pour la petite histoire, les historiens se demandent encore si Christophe Colomb aurait entrepris son périple vers l’ouest en 1492 — ou pour le moins, augmenté les stocks de vivres – s’il avait eu connaissance de cette valeur et non de la référence en vigueur à son époque, les quelque 30 000 kilomètres calculés par Ptolémée au IIe siècle après J.-C. Comme quoi la géométrie peut changer le cours du monde!
Une source épuisée mais pas épuisante!

Il convient de rendre hommage au travail de fourmi d’Arkan Simaan, historien, dont l’ouvrage palpitant — épuisé mais disponible d’occasion — nous a inspiré.

La Science au péril de sa vie , Arkan Simaan, Editions Vuibertà-Adapt, 2001.
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